已知數列{an}的前n項和爲Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差數列的充要條件.

問題詳情：

已知數列{an}的前n項和爲Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差數列的充要條件.

【回答】

【解析】當{an}是等差數列時,

因爲Sn=(n+1)2+c,所以當n≥2時,Sn-1=n2+c,

所以an=Sn-Sn-1=2n+1,所以an+1-an=2爲常數.

又a1=S1=4+c,所以a2-a1=5-(4+c)=1-c,

因爲{an}是等差數列,

所以a2-a1=2,所以1-c=2.

所以c=-1,反之,當c=-1時,Sn=n2+2n,

可得an=2n+1(n≥1,n∈N*)爲等差數列,

所以{an}爲等差數列的充要條件是c=-1.

知識點：常用邏輯用語

題型：解答題