如圖,已知拋物線y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)與x軸相交於點A、B,與y軸相交於點C,且點A在點B的左側...
問題詳情:
如圖,已知拋物線y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)與x軸相交於點A、B,與y軸相交於點C,且點A在點B的左側.
(1)若拋物線過點G(2,2),求實數m的值;
(2)在(1)的條件下,解答下列問題:
①求出△ABC的面積;
②在拋物線的對稱軸上找一點H,使AH+CH最小,並求出點H的座標;
(3)在第四象限內,拋物線上是否存在點M,使得以點A、B、M爲頂點的三角形與△ACB相似?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)把點G的座標代入拋物線的解析式中可求得m的值;
(2)①根據(1)中的m值寫出拋物線的解析式,分別求拋物線與x軸和y軸的交點座標,根據座標特點寫出AB和OC的長,利用三角形面積公式求△ABC的面積;
②由對稱*可知:x=1,點A和B關於拋物線的對稱軸對稱,所以由軸對稱的最短路徑可知:連接BC與對稱軸的交點即爲點H,依據待定係數法可求得直線BC的解析式,將x=1代入得:y=,則點H的座標爲(1,);
(3)在第四象限內,拋物線上存在點M,使得以點A、B、M爲頂點的三角形與△ACB相似,根據∠ACB與∠ABM爲鈍角,分兩種情況考慮:①當△ACB∽△ABM時;②當△ACB∽△MBA時,利用相似三角形的判定與*質,確定出m的值即可.
【解答】解:(1)把點G(2,2)代入拋物線y=﹣(x+2)(x﹣m)中得:
2=﹣(2+2)(2﹣m),
m=4;
(2)①由(1)得拋物線的解析式爲:y=﹣(x+2)(x﹣4),
當x=0時,y=﹣(0+2)(0﹣4)=2,
∴C(0,2),
∴OC=2,
當y=0時,﹣(x+2)(x﹣4)=0,
x=﹣2或4,
∴A(﹣2,0),B(4,0),
∴AB=2+4=6,
∴S△ABC=AB•OC=×6×2=6;
則△ABC的面積是6;
②∵A(﹣2,0),B(4,0),
由對稱*得:拋物線的對稱軸爲:x=1,
∵點A和B關於拋物線的對稱軸對稱,
∴連接BC與對稱軸的交點即爲點H,
此時AH+CH爲最小,
設直線BC的解析式爲:y=kx+b,
把B(4,0),C(0,2)代入得:,
解得:,
∴直線BC的解析式爲:y=﹣x+2,
當x=1時,y=,
∴H(1,);
(3)存在符合條件的點M,
由圖形可知:∠ACB與∠ABM爲鈍角,
分兩種情況考慮:
①當△ACB∽△ABM時,則有,即AB2=AC•AM,
∵A(﹣2,0),C(0,2),即OA=OC=2,
∴∠CAB=45°,∠BAM=45°,
如圖2,過M作MN⊥x軸於N,則AN=MN,
∴OA+ON=2+ON=MN,
設M(x,﹣x﹣2)(x>0),
把M座標代入拋物線解析式得:﹣x﹣2=﹣(x+2)(x﹣m),
∵x>0,
∴x+2>0,
∵m>0,
∴x=2m,即M(2m,﹣2m﹣2),
∴AM==2(m+1),
∵AB2=AC•AM,AC=2,AB=m+2,
∴(m+2)2=2 •2(m+1),
解得:m=2±2,
∵m>0,
∴m=2+2;
②當△ACB∽△MBA時,則,即AB2=CB•MA,
∵∠CBA=∠BAM,∠ANM=∠BOC=90°,
∴△ANM∽△BOC,
∴,
∵OB=m,設ON=x,
∴=,即MN=(x+2),
令M[x,﹣(x+2)](x>0),
把M座標代入拋物線解析式得:﹣(x+2)=﹣(x+2)(x﹣m),
同理解得:x=m+2,即M[m+2,﹣(m+4)],
∵AB2=CB•MA,CB=,AN=m+4,MN=(m+4),
∴(m+2)2=•,
整理得: =0,顯然不成立,
綜上,在第四象限內,當m=2 +2時,拋物線上存在點M,使得以點A、B、M爲頂點的三角形與△ACB相似.
【點評】本題是二次函數綜合題,主要考查的是軸對稱路徑最短問題、待定係數法確定函數解析式、座標與圖形*質、相似三角形的判定與*質、勾股定理等知識,熟練掌握相似三角形的判定與*質是解本題的關鍵.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題
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