在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC邊上一點，且DA＝DB，O是AB的中點，CE是△B...

問題詳情：

在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC邊上一點，且DA＝DB，O是AB的中點，CE是△BCD的中線．

（1）如圖a，連接OC，請直接寫出∠OCE和∠OAC的數量關係：　   　；

（2）點M是*線EC上的一個動點，將*線OM繞點O逆時針旋轉得*線ON，使∠MON＝∠ADB，ON與*線CA交於點N．

①如圖b，猜想並*線段OM和線段ON之間的數量關係；

②若∠BAC＝30°，BC＝m，當∠AON＝15°時，請直接寫出線段ME的長度（用含m的代數式表示）．

【回答】

解：（1）結論：∠ECO＝∠OAC．

理由：如圖1中，連接OE．

∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，

∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，

∴∠OCA＝∠A，

∵BE＝ED，BO＝OA，

∴OE∥AD，OE＝AD，

∴CE＝EO．

∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，

∴∠ECO＝∠OAC．

故*爲：∠OCE＝∠OAC．

（2）如圖2中，

∵OC＝OA，DA＝DB，

∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，

∴∠COA＝∠ADB，

∵∠MON＝∠ADB，

∴∠AOC＝∠MON，

∴∠COM＝∠AON，

∵∠ECO＝∠OAC，

∴∠MCO＝∠NAO，

∵OC＝OA，

∴△COM≌△AON（ASA），

∴OM＝ON．

②如圖3﹣1中，當點N在CA的延長線上時，

∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，

∴∠AON＝∠ANO＝15°，

∴OA＝AN＝m，

∵△OCM≌△OAN，

∴CM＝AN＝m，

在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，

∴BD＝m，

∵BE＝ED，

∴CE＝BD＝m，

∴EM＝CM+CE＝m+m．

如圖3﹣2中，當點N在線段AC上時，作OH⊥AC於H．

∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，

∴∠ONH＝15°+30°＝45°，

∴OH＝HN＝m，

∵AH＝m，

∴CM＝AN＝m﹣m，

∵EC＝m，

∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，

綜上所述，滿足條件的EM的值爲m+m或m﹣m．

知識點：中心對稱

題型：解答題