請閱讀下列材料:問題:如圖1,點A,B在直線l的同側,在直線l上找一點P,使得AP+BP的值最小.小明的思路是...
問題詳情:
請閱讀下列材料:
問題:如圖1,點A,B在直線l的同側,在直線l上找一點P,使得AP+BP的值最小.
小明的思路是:如圖2所示,先作點A關於直線l的對稱點A′,使點A′,B分別位於直線l的兩側,再連接A′B,根據“兩點之間線段最短”可知A′B與直線l的交點P即爲所求.
請你參考小明同學的思路,探究並解決下列問題:
(1)如圖3,在圖2的基礎上,設AA'與直線l的交點爲C,過點B作BD⊥l,垂足爲D.若CP=1,AC=1,PD=2,直接寫出AP+BP的值;
(2)將(1)中的條件“AC=1”去掉,換成“BD=4﹣AC”,其它條件不變,直接寫出此時AP+BP的值;
(3)請結合圖形,求的最小值.
【回答】
【考點】軸對稱-最短路線問題.
【分析】(1)利用勾股定理求得PA,根據三角形相似對應邊成比例求得PB,從而求得PA+PB;
(2)作AE∥l,交BD的延長線於E,根據已知條件求得BE、A′E,然後根據勾股定理即可求得A′B,從而求得AP+BP的值;
(3)設AC=1,CP=m﹣3,得到AP=,設BD=2,DP=9﹣m,得到BP=,於是得到的最小值即爲A′B的長,如圖,過A′作A′E⊥BD的延長線於點E.根據勾股定理即可得到結論.
【解答】解:(1)如圖2,∵AA′⊥l,AC=1,PC=1,
∴PA=,
∴PA′=PA=,
∵AA′∥BD,
∴∠A′=∠B,
∵∠A′PC=∠BPD,
∴△A′PC∽△BPD,
∴=,
∴=,
∴PB=2,
∴AP+PB=+2=3;
故*爲3;
(2)作AE∥l,交BD的延長線於E,如圖3,
則四邊形A′EDC是矩形,
∴AE=DC=PC+PD=3,DE=A′C=AC,
∵BD=4﹣AC,
∴BD+AC=BD+DE=4,
即BE=4,
在RT△A′BE中,A′B==5,
∴AP+BP=5,
故*爲5;
(3)設AC=1,CP=m﹣3,
∵A A′⊥L於點C,
∴AP=,
設BD=2,DP=9﹣m,
∵BD⊥L於點D,
∴BP=,
∴的最小值即爲A′B的長.
即:A′B=的最小值.
如圖,過A′作A′E⊥BD的延長線於點E.
∵A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6,BE=BD+DE=2+1=3,
∴A′B=的最小值
=
=
=,
∴的最小值爲.
【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題,熟練掌握軸對稱的*質和勾股定理的應用是解題的關鍵.
知識點:畫軸對稱圖形
題型:解答題
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