已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)求*:当时,关于的不等式在区间上无解.(其中)
问题详情:
已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)求*:当时,关于的不等式在区间上无解.
(其中)
【回答】
【考点】导数的综合运用
【试题解析】
解:(Ⅰ)
因为,
所以,
当时,.
令,得,
所以随的变化情况如下表:
极大值 | 极小值 |
所以在处取得极大值,
在处取得极小值.
函数的单调递增区间为,, 的单调递减区间为.
(Ⅱ)*:
不等式在区间上无解,等价于在区间上恒成立,
即函数在区间上的最大值小于等于1.
因为,
令,得.
因为时,所以.
当时,对成立,函数在区间上单调递减,
所以函数在区间上的最大值为,
所以不等式在区间上无解;
当时,随的变化情况如下表:
↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数在区间上的最大值为或.
此时,,
所以
.
综上,当时,关于的不等式在区间上无解.
【*】见解析
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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