如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．（1...

问题详情：

如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．

（1）求*：∠PCA=∠ABC．

（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的长

【回答】

【解答】*：（1）连接OC，交AE于H，

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°，

∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分）

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，（2分）

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠PCA=∠OCB，（3分）

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠ABC，

∴∠PCA=∠ABC；（4分）

（2）方法一：∵AE∥PC，

∴∠CAF=∠PCA，

∵AB⊥CG，

∴，

∴∠ACF=∠ABC，（5分）

∵∠ABC=∠PCA，

∴∠CAF=∠ACF，

∴AF=CF=10，（6分）

∵AE∥PC，

∴∠P=∠FAD，

∴cos∠P=cos∠FAD=，

在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，

∴AD=8，（7分）

∴FD==6，

∴CD=CF+FD=16，

在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，

r2=（r﹣8）2+162，

r=20，

∴AB=2r=40，（8分）

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，

∴AE=32，

∴BE==24．（9分）

方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，

∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分），

∴∠EAO+∠COA=90°，

∵AB⊥CG，

∴∠OCD+∠COA=90°，

∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分）

在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，

∴CH=8，（7分）

在Rt△OHA中，cos∠OAH=，设AO=5x，AH=4x，

∴OH=3x，OC=3x+8，

由OC=OA得：3x+8=5x，x=4，

∴AO=20，

∴AB=40，（8分）

在Rt△ABE中，cos∠EAB=，AB=40，

∴AE=32，

∴BE==24．（9分）

【点评】本题考查了切线的*质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的*质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题