已知函数.(Ⅰ)当时,判断函数的单调*;(Ⅱ)当时,*:.(为自然对数的底数)
问题详情:
已知函数.
(Ⅰ)当时,判断函数的单调*;
(Ⅱ)当时,*:.(为自然对数的底数)
【回答】
【解析】
(1)函数的定义域为.
.
①当时,.
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减.
②当时,.
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增.
③当时,.
易知恒成立,函数在上单调递增;
④当时,.
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增.
综上,当时,函数在和上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在上单调递增;
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)当时,不等式化为.
记,则.
显然在上单调递增,
且,.
所以在上有唯一的零点,且.
所以当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.
由,即,得,
所以,
而易知函数在上单调递减,
所以,
所以.
所以,即.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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