已知函数(,是自然对数的底数).(1)若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围;(2)求函数的极值;(3)...
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已知函数(,是自然对数的底数).
(1)若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围;
(2)求函数的极值;
(3)设函数图象上任意一点处的切线为,求在轴上的截距的取值范围.
【回答】
1)函数的导函数,
则在区间上恒成立,且等号不恒成立,
又,所以在区间上恒成立, 记,
只需,即,解得. (2)由,得 , ①当时,有;,
所以函数在单调递增,单调递减,
所以函数在取得极大值,没有极小值. ②当时,有;,
所以函数在单调递减,单调递增,
所以函数在取得极小值,没有极大值. 综上可知: 当时,函数在取得极大值,没有极小值;
当时,函数在取得极小值,没有极大值.
(3)设切点为,
则曲线在点处的切线方程为,
当时,切线的方程为,其在轴上的截距不存在 当时,令,得切线在轴上的截距为
, 当时,
,
当且仅当,即或时取等号;
当时,
,
当且仅当,即或时取等号.
所以切线在轴上的截距范围是.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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