已知函数,.(1)当时,求函数的最小值;(2)若,*:函数有且只有一个零点;(3)若函数有两个零点,求实数a...
问题详情:
已知函数,.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若,*:函数有且只有一个零点;
(3)若函数有两个零点,求实数a的取值范围.
【回答】
(1)当时,.
所以,(x>0).
令,得,
当时,;当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
所以当时,有最小值.
(2)由,得.
所以当时,,
函数在上单调递减,
所以当时,函数在上最多有一个零点.
因为当时,,,
所以当时,函数在上有零点.
综上,当时,函数有且只有一个零点.
(3)解法一:
由(2)知,当时,函数在上最多有一个零点.
因为函数有两个零点,所以.
由,得,令.
因为,,
所以函数在上只有一个零点,设为.
当时,;当时,.
所以函数在上单调递减;在上单调递增.
要使得函数在上有两个零点,
只需要函数的极小值,即.
又因为,所以,
又因为函数在上是增函数,且,
所以,得.
又由,得,
所以.
以下验*当时,函数有两个零点.
当时,,
所以.
因为,且.
所以函数在上有一个零点.
又因为(因为),且.
所以函数在上有一个零点.
所以当时,函数在内有两个零点.
综上,实数a的取值范围为.
下面*:.
设,所以,(x>0).
令,得.
当时,;当时,.
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
所以当时,有最小值.
所以,得成立.
解法二:
由(2)知,当时,函数在上最多有一个零点.
因为函数有两个零点,所以.
由,得关于x的方程,(x>0)有两个不等
的实数解.
又因为,
所以,(x>0).
因为x>0时,,所以.
又当时,,即关于x的方程有且只有一个实数解.
所以.
知识点:不等式
题型:解答题
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