对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下*作:先沿CE折叠,使点B落在CD边上(如图①),再沿CH折叠,这时发现点...
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对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下*作:先沿CE折叠,使点B落在CD边上(如图①),再沿CH折叠,这时发现点E恰好与点D重合(如图②)
(1)根据以上*作和发现,求的值;
(2)将该矩形纸片展开.
①如图③,折叠该矩形纸片,使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求*:∠HPC=90°;
②不借助工具,利用图④探索一种新的折叠方法,找出与图③中位置相同的P点,要求只有一条折痕,且点P在折痕上,请简要说明折叠方法.(不需说明理由)
【回答】
【分析】(1)依据△BCE是等腰直角三角形,即可得到CE=BC,由图②,可得CE=CD,而AD=BC,即可得到CD=AD,即=;
(2)①由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2,依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2,进而得出AP=BC,再根据PH=CP,∠A=∠B=90°,即可得到Rt△APH≌Rt△BCP(HL),进而得到∠CPH=90°;
②由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,故沿着过D的直线翻折,使点A落在CD边上,此时折痕与AB的交点即为P;由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,进而得到CP平分∠BCE,故沿着过点C的直线折叠,使点B落在CE上,此时,折痕与AB的交点即为P.
【解答】解:(1)由图①,可得∠BCE=∠BCD=45°,
又∵∠B=90°,
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴=cos45°=,即CE=BC,
由图②,可得CE=CD,而AD=BC,
∴CD=AD,
∴=;
(2)①设AD=BC=a,则AB=CD=a,BE=a,
∴AE=(﹣1)a,
如图③,连接EH,则∠CEH=∠CDH=90°,
∵∠BEC=45°,∠A=90°,
∴∠AEH=45°=∠AHE,
∴AH=AE=(﹣1)a,
设AP=x,则BP=a﹣x,由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2,
∴AH2+AP2=BP2+BC2,
即[(﹣1)a]2+x2=(a﹣x)2+a2,
解得x=a,即AP=BC,
又∵PH=CP,∠A=∠B=90°,
∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL),
∴∠APH=∠BCP,
又∵Rt△BCP中,∠BCP+∠BPC=90°,
∴∠APH+∠BPC=90°,
∴∠CPH=90°;
②折法:如图,由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,
故沿着过D的直线翻折,使点A落在CD边上,此时折痕与AB的交点即为P;
折法:如图,由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,
由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,
又∵∠DCH=∠ECH,
∴∠BCP=∠PCE,即CP平分∠BCE,
故沿着过点C的直线折叠,使点B落在CE上,此时,折痕与AB的交点即为P.
【点评】本题属于折叠问题,主要考查了等腰直角三角形的*质,矩形的*质,全等三角形的判定与*质的综合运用,折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,对应边和对应角相等.解题时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的*质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出*.
知识点:各地中考
题型:综合题
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