如图,刚*细轻杆(其质量可视为零)可绕通过其中的点的光滑水平轴在竖直面内自由转动。两质量分别为和的小球1和2(...
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如图,刚*细轻杆(其质量可视为零)可绕通过其中的点的光滑水平轴在竖直面内自由转动。两质量分别为和的小球1和2(可视为质点)串在轻杆上,它们与轻杆之间的静摩擦系数为。开始时轻杆静止在水平位置,小球1和2分别位于紧靠轻杆两端和的位置。现让系统自水平位置以零初速下摆,求
1.小球1脱离轻杆时的位置(用小球1脱离杆时杆与水平线的夹角表示);
2.小球2脱离轻杆时的位置(用小球2脱离杆时杆与水平线的夹角表示)。
【回答】
设轻杆的杆长为,当杆与水平线的夹角为时,球1和球2的速度分别为和,杆转动的角速度为。因机械能守恒,有
。 (1)
又因
, (2)
可由(1)、(2)解得
(3)
轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动量
, (4)
由角动量定律有
。 (5)
根据角加速度的定义
, (6)
由(2)、(4)、(5)、(6)各式得
。 (7)
当两球都未脱离轻杆时,两球都绕转轴作圆周运动,球1的切向加速度和法向加速度分别为
(8)
(9)
以表示沿垂直于轻杆方向球1与杆的相互作用力的大小,以表示沿着轻杆方向球1与杆的相互作用力的大小,根据牛顿第二定律,有
, (10)
(11)
由(3)、(9)、(10)、(11)各式得
。 (12)
。 (13)
对2球作同样的分析,沿垂直于轻杆方向球2与杆的相互作用力的大小与沿着轻杆方向球2与杆的相互作用力的大小分别为
, (14)
。 (15)
由(12)、(14)式可知,杆与小球1、杆与小球2的最大静摩擦力相等,而(13)、(14)式表明小球1与杆的摩擦力大于小球2与杆的摩擦力,故在转动过程中,小球1与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力,故小球1先滑动。设1球开始滑动时,细杆与水平线夹角为,则,
即, (16)
由(16)式并代入数据得
。 (17)
当时,球1开始向外滑动。由于球1的初始位置紧靠轻杆末端,球1从开始滑动到脱离细杆的时间可忽略不计,因此球1脱离细杆与水平线夹角也为。
球1一旦脱离轻杆,因轻杆没有质量,球2与轻杆间的相互作用立即消失,此后球2只受重力作用而作斜*运动,注意到(2)、(3)、(7)各式,抛出时的初速度
。 (18)
初速度的方向与水平线的夹角
。 (19)
在球2作抛体运动的过程中,球与轻杆间虽无相互作用,但球仍套在杆上,轻杆将跟着球运动,但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距离再次等于时,球2便脱离轻杆。建立如图所示的坐标系,根据斜抛运动规律可得任意时刻(取球2开始作抛体运动的时刻为计时起点)球2的位置坐标
, (20)
, (21)
球2脱离细杆时有
。 (22)
利用(17)、(18)、(19)各式得
, (23)
从而解得
。 (24)
此时
。 (25)
设球2脱离细杆时细杆与水平线夹角也为(如图),则
, (26)
(或弧度)。 (27)
评分标准:(3)式2分,(7)式3分,(12)~(15)式各1分,(16)式2分,(17)式1分,(18)式2分,(19)式1分,(20)~(22)式各1分,(26)、(27)式各1分。
知识点:物理竞赛
题型:综合题
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