如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论...

问题详情：

如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：

①EP⊥AC；

②EP∥BD；

③EP∥面SBD；

④EP⊥面SAC，

其中恒成立的为（　　）

A．①③      B．③④      C．①②      D．②③④

【回答】

A【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．

（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；

（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；

（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反*法*：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．

【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．

对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．

对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．

故选：A．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：选择题