边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与A、C不重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转...
问题详情:
边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与A、C不重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ,连接QP,QP与BC交于点E,QP延长线与AD(或AD延长线)交于点F.
(1)连接CQ,*:CQ=AP;
(2)设AP=x,CE=y,试写出y关于x的函数关系式,并求当x为何值时,CE=BC;
(3)猜想PF与EQ的数量关系,并*你的结论.
【回答】
【考点】LO:四边形综合题.
【分析】(1)*出∠ABP=∠CBQ,由SAS*△BAP≌△BCQ可得结论;
(2)如图1*△APB∽△CEP,列比例式可得y与x的关系式,根据CE=BC计算CE的长,即y的长,代入关系式解方程可得x的值;
(3)如图3,作辅助线,构建全等三角形,*△PGB≌△QEB,得EQ=PG,由F、A、G、P四点共圆,
得∠FGP=∠FAP=45°,所以△FPG是等腰直角三角形,可得结论.
如图4,当F在AD的延长线上时,同理可得结论.
【解答】(1)*:如图1,∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ,
∴BP=BQ,∠PBQ=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°.
∴∠ABC=∠PBQ.
∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC,即∠ABP=∠CBQ.
在△BAP和△BCQ中,
∵,
∴△BAP≌△BCQ(SAS).
∴CQ=AP;
(2)解:如图1,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠BAD=45°,∠BCA=∠BCD=45°,
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°,
∵DC=AD=2,
由勾股定理得:AC==4,
∵AP=x,
∴PC=4﹣x,
∵△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=45°,
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°,
∴∠CPQ=∠ABP,
∵∠BAC=∠ACB=45°,
∴△APB∽△CEP,
∴,
∴,
∴y=x(4﹣x)=﹣x(0<x<4),
由CE=BC==,
∴y=﹣x=,
x2﹣4x=3=0,
(x﹣3)(x﹣1)=0,
x=3或1,
∴当x=3或1时,CE=BC;
(3)解:结论:PF=EQ,理由是:
如图3,当F在边AD上时,过P作PG⊥FQ,交AB于G,则∠GPF=90°,
∵∠BPQ=45°,
∴∠GPB=45°,
∴∠GPB=∠PQB=45°,
∵PB=BQ,∠ABP=∠CBQ,
∴△PGB≌△QEB,
∴EQ=PG,
∵∠BAD=90°,
∴F、A、G、P四点共圆,
连接FG,
∴∠FGP=∠FAP=45°,
∴△FPG是等腰直角三角形,
∴PF=PG,
∴PF=EQ.
当F在AD的延长线上时,如图4,同理可得:PF=PG=EQ.
知识点:各地中考
题型:综合题
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