已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.

问题详情：

已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.

【回答】

【解析】当{an}是等差数列时,

因为Sn=(n+1)2+c,所以当n≥2时,Sn-1=n2+c,

所以an=Sn-Sn-1=2n+1,所以an+1-an=2为常数.

又a1=S1=4+c,所以a2-a1=5-(4+c)=1-c,

因为{an}是等差数列,

所以a2-a1=2,所以1-c=2.

所以c=-1,反之,当c=-1时,Sn=n2+2n,

可得an=2n+1(n≥1,n∈N*)为等差数列,

所以{an}为等差数列的充要条件是c=-1.

知识点：常用逻辑用语

题型：解答题