在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,...
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在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
【回答】
解:(1)把A(﹣1,0)和点B(0,)代入y=﹣x2+bx+c得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+;
(2)∵y=﹣(x﹣2)2+,
∴C(2,),抛物线的对称轴为直线x=2,
如图,设CD=t,则D(2,﹣t),
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处,
∴∠PDC=90°,DP=DC=t,
∴P(2+t,﹣t),
把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得﹣(2+t)2+2(2+t)+=﹣t,
整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,
∴线段CD的长为2;
(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,),
∵抛物线平移,使其顶点C(2,)移到原点O的位置,
∴抛物线向左平移2个单位,向下平移个单位,
而P点(4,)向左平移2个单位,向下平移个单位得到点E,
∴E点坐标为(2,﹣2),
设M(0,m),
当m>0时,•(m++2)•2=8,解得m=,此时M点坐标为(0,);
当m<0时,•(﹣m++2)•2=8,解得m=﹣,此时M点坐标为(0,﹣);
综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,﹣).
知识点:各地中考
题型:综合题
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