如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形,DA=DP,BA=BP.(1)求*:PA⊥BD;(2)若D...
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如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形,DA=DP,BA=BP.
(1)求*:PA⊥BD;
(2)若DA⊥DP,∠ABP=60°,BA=BP=BD=2,求二面角D﹣PC﹣B的正弦值.
【回答】
【解答】(1)*:取AP中点M,连接DM,BM,
∵DA=DP,BA=BP,
∴PA⊥DM,PA⊥BM,
∵DM∩BM=M,
∴PA⊥平面DMB.
又∵BD⊂平面DMB,
∴PA⊥BD;
(2)解:∵DA=DP,BA=BP.DA⊥DP,∠ABP=60°,
∴△DAP是等腰三角形,△ABP是等边三角形.
∵BA=BP=BD=2,
∴DM=1,BM=.
∴BD2=MB2+MD2,∴MD⊥MB.
以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则A(﹣1,0,0),B(0,,0),P(1,0,0),D(0,0,1),
从而得=(1,0,﹣1),=(1,,0),=(1,,0),=(1,0,1),
设平面DPC的法向量,则,即,
令y1=1,得,∴=(,1,),
设平面PCB的法向量,由,得,
令y2=1,得,,∴=(,1,),
∴cos<>=.
设二面角D﹣PC﹣B为α,∴.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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