如圖,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.動點P從A點出發,沿AB方向以每秒5個單位長度的速度...
問題詳情:
如圖,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.動點P從A點出發,沿AB方向以每秒5個單位長度的速度向B點勻速運動,動點Q從C點同時出發,以相同的速度沿CA方向向A點勻速運動,當點P運動到B點時,P、Q兩點同時停止運動,以PQ為邊作正△PQM(P、Q、M按逆時針排序),以QC為邊在AC上方作正△QCN,設點P運動時間為t秒.
(1)求cosA的值;
(2)當△PQM與△QCN的面積滿足S△PQM=S△QCN時,求t的值;
(3)當t為何值時,△PQM的某個頂點(Q點除外)落在△QCN的邊上.
【回答】
解:(1)如圖1中,作BE⊥AC於E.
∵S△ABC=•AC•BE=,∴BE=.在Rt△ABE中,AE==6,∴coaA===.
(2)如圖2中,作PH⊥AC於H.
∵PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t,∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9﹣9t)2.
∵S△PQM=S△QCN,∴ •PQ2=וCQ2,∴9t2+(9﹣9t)2=×(5t)2,整理得:5t2﹣18t+9=0,解得t=3(捨棄)或,∴當t=時,滿足S△PQM=S△QCN.
(3)①如圖3中,當點M落在QN上時,作PH⊥AC於H.
易知:PM∥AC,∴∠MPQ=∠PQH=60°,∴PH=HQ,∴3t=(9﹣9t),∴t=.
②如圖4中,當點M在CQ上時,作PH⊥AC於H.
同法可得PH=QH,∴3t=(9t﹣9),∴t=.
綜上所述:當t=s或s時,△PQM的某個頂點(Q點除外)落在△QCN的邊上.
知識點:各地中考
題型:綜合題
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