如圖，AD是⊙O的切線，切點為A，AB是⊙O的弦．過點B作BC∥AD，交⊙O於點C，連接AC，過點C作CD∥A...

問題詳情：

如圖，AD是⊙O的切線，切點為A，AB是⊙O的弦．過點B作BC∥AD，交⊙O於點C，連接AC，過點C作CD∥AB，交AD於點D．連接AO並延長交BC於點M，交過點C的直線於點P，且∠BCP=∠ACD．

(1)判斷直線PC與⊙O的位置關係，並説明理由；

(2)若AB=9，BC=6．求PC的長．

【回答】

（1）解：PC與圓O相切，理由為：過C點作直徑CE，連接EB，如圖， ∵CE為直徑， ∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°， ∵AB∥DC， ∴∠ACD=∠BAC， ∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD． ∴∠E=∠BCP， ∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°， ∴CE⊥PC， ∴PC與圓O相切；（2）解：∵AD是⊙O的切線，切點為A， ∴OA⊥AD， ∵BC∥AD， ∴AM⊥BC， ∴BM=CM= BC=3， ∴AC=AB=9，在Rt△AMC中，AM= =6 ，設⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2 ，即32+（6 ﹣r）2=r2 ，解得r= ， ∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ， ∴BE=2OM= ， ∵∠E=∠MCP， ∴Rt△PCM∽Rt△CEB， ∴ = ，即 = ， ∴PC= ．【考點】切線的判定與*質【解析】【分析】（1）過C點作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，於是∠BCP+∠BCE=90°，然後根據切線的判斷得到結論；（2）根據切線的*質得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據垂徑定理有BM=CM= BC=3，根據等腰三角形*質有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據勾股定理計算出AM=6 ；設⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，在Rt△OCM中，根據勾股定理計算出r= ，則CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，利用中位線*質得BE=2OM= ，然後判斷Rt△PCM∽Rt△CEB，根據相似比可計算出PC．