已知函數．（1）令，判斷g(x)的單調*；（2）當x＞1時，，求a的取值範圍．

問題詳情：

已知函數．

（1）令，判斷g(x)的單調*；

（2）當x＞1時，，求a的取值範圍．

【回答】

（1）由，則，

所以（x＞0）．

①當a≤0時，，為的減函數；

②當a＞0時，

若，即時，，為的減函數；

若，即時，由有兩根得

在上，為減函數；在上，為增函數；

在上，為減函數．

綜上：當時，為的減函數；

當時，在上，為減函數；在上，為增函數；在上，為減函數．

（2）由（1）知，對a討論如下，

①當a≤0時，，則為（1，＋∞）上的減函數，

則，故為（1，＋∞）的減函數，

由於，所以，即a≤0時滿足題意．

②當a＞0時，由於，對其討論如下：

(A)若，即a≤1，則由（1）知，為（1，＋∞）上的減函數，

則，所以為（1，＋∞）的減函數，

由於，所以，即0＜a≤1時滿足題意．

(B)若，即a＞1，則由（1）知，

當時，為（1，＋∞）上的減函數，又，

所以存在，使得在時，，於是為的增函數，

因為，

所以，即1＜a≤時不滿足題意．

當時，由於，所以對與1的大小關係討論如下，

1)如果，即，那麼由（1）知，為（1，＋∞）上的減函數，

又，

則存在，使得在時，，於是為的增函數，

又，則，即時不滿足題意．

2)如果，即，那麼由（1）知，為（1，）上的增函數，

則當時，，於是為的增函數，

又，則，即時不滿足題意．

綜上所述，a的取值範圍為．

【點睛】本題是以導數的運用為背景的函數綜合題，主要考查了函數思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬於較難題，近來高考在逐年加大對導數問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數的幾何意義；第二層次是導數的簡單應用，包括求函數的單調區間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式甚至數列及函數單調*有機結合，設計綜合題.

知識點：導數及其應用

題型：解答題