已知函數f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,a∈R.(1)寫出函數f(x)的最小正週期...
問題詳情:
已知函數 f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,a∈R.
(1)寫出函數 f(x)的最小正週期(不必寫出過程);
(2)求函數 f(x)的最大值;
(3)當a=1時,若函數 f(x)在區間(0,kπ)(k∈N*)上恰有2015個零點,求k的值.
【回答】
(1)最小正週期為π.(2)見解析(3)k=1008.
【分析】
(1)由題意結合周期函數的定義直接求解即可;
(2)令,t∈[1,],則當時,,
當時,,易知,分類比較、的大小即可得解;
(3)轉化條件得若且唯若sin2x=0時,f(x)=0,則x∈(0,π]時,f(x)有且僅有兩個零點,結合函數的週期即可得解.
【詳解】
(1)函數 f(x)的最小正週期為π.
(2)∵f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1
=asin2x﹣1=a(sin2x+1),
令t,t∈[1,],
當時,,
當時,,
∵即.
∴,
∵,,
∴當時,最大值為;當,最大值為.
(3)當a=1時,f(x),
若f(x)=0,則即,
∴若且唯若sin2x=0時,f(x)=0,
∴x∈(0,π]時,f(x)有且僅有兩個零點分別為,π,
∴2015=2×1007+1,
∴k=1008.
【點睛】
本題考查了三角函數的綜合問題,考查了分類討論思想和轉化化歸思想,屬於難題.
知識點:三角函數
題型:解答題
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