如圖,直三稜柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D為A1C1的中點,F...
問題詳情:
如圖,直三稜柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,
AB=BC=,BB1=3,D為A1C1的中點,F在線段AA1上.
(1)AF為何值時,CF⊥平面B1DF?
(2)設AF=1,求平面B1CF與平面ABC所成的鋭二面角的餘弦值.
【回答】
(1)因為直三稜柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥面ABC,∠ABC=.
以B點為原點,BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角座標系.因為AC=2,∠ABC=90º,所以AB=BC=,
從而B(0,0,0),A,C,B1(0,0,3),A1,C1,D,E.
所以,
設AF=x,則F(,0,x),
.
,所以
要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F.
由=2+x(x-3)=0,得x=1或x=2,
故當AF=1或2時,CF⊥平面B1DF.……………… 5分
(2)由(1)知平面ABC的法向量為n1=(0,0,1).
設平面B1CF的法向量為,則由得
令z=1得,
所以平面B1CF與平面ABC所成的鋭二面角的餘弦值
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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