定義在R上的函數y=f(x)為減函數,且函數y=f(x﹣1)的圖象關於點(1,0)對稱,若f(x2﹣2x)+f...
問題詳情:
定義在R上的函數y=f(x)為減函數,且函數y=f(x﹣1)的圖象關於點(1,0)對稱,若f(x2﹣2x)+f(2b﹣b2)≤0,且0≤x≤2,則x﹣b的取值範圍是( )
A.[﹣2,0] B.[﹣2,2] C.[0,2] D.[0,4]
【回答】
B【考點】3N:奇偶*與單調*的綜合.
【分析】設P(x,y)為函數y=f(x﹣1)的圖象上的任意一點,關於(1,0)對稱點為(2﹣x,﹣y),可得f(2﹣x﹣1)=﹣f(x﹣1),即f(1﹣x)=﹣f(x﹣1).由於不等式f(x2﹣2x)+f(2b﹣b2)≤0化為f(x2﹣2x)≤﹣f(2b﹣b2)=f(1﹣1﹣2b+b2)=f(b2﹣2b),再利用函數y=f(x)為定義在R上的減函數,可得x2﹣2x≥b2﹣2b,可畫出可行域,進而得出*.
【解答】解:設P(x,y)為函數y=f(x﹣1)的圖象上的任意一點,關於(1,0)對稱點為(2﹣x,﹣y),
∴f(2﹣x﹣1)=﹣f(x﹣1),即f(1﹣x)=﹣f(x﹣1).
∴不等式f(x2﹣2x)+f(2b﹣b2)≤0化為f(x2﹣2x)≤﹣f(2b﹣b2)=f(1﹣1﹣2b+b2)
=f(b2﹣2b),
∵函數y=f(x)為定義在R上的減函數,
∴x2﹣2x≥b2﹣2b,
化為(x﹣1)2≥(b﹣1)2,
∵0≤x≤2,∴或.
畫出可行域.設x﹣b=z,則b=x﹣z,由圖可知:當直線b=x﹣z經過點(0,2)時,z取得最小值﹣2.
當直線b=x﹣z經過點(2,0)時,z取得最大值2.
綜上可得:x﹣b的取值範圍是[﹣2,2].
故選B.
知識點:*與函數的概念
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