将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列(含n本身)后,得到新的三位数(a<c),在所有重新排列大的数中,当|...
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将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列(含n本身)后,得到新的三位数(a<c),在所有重新排列大的数中,当|a+c﹣2b|最小时,我们称是n的“天时数”,并规定F(n)=b2﹣ac.当|a+c﹣2b|最大时,我们称是n的“地利数”,并规定G(n)=ac﹣b2.并规定M(n)=是n的“人和数”,例如:215可以重新排列为125,152,215,因为|1+5﹣2×2|=2,|1+2﹣2×5|=7,|2+5﹣2×1|=5,且2<5<7,所以125是215的“天时数”F(125)=22﹣1×5=﹣1,152是215的“地利数”,G(152)=1×2﹣52=﹣23,M(215)=.
(1)计算:F(168),G(168);
(2)设三位自然数s=100x+50+y(1≤x≤9,1≤y≤9,且x,y均为正整数),交换其个位上的数字与百位上的数字得到t,若s﹣t=693,那么我们称s为“厚积薄发数”;请求出所有“厚积薄发数”中M(s)的最大值.
【回答】
(1)28,47;(2)
【分析】
(1)将168重新排列为168、186,618,计算出|1+8﹣2×6|=3、|1+6﹣2×8|=98+6﹣2×1|=12,且3<9<12,可得168的天时数与地利数,再根据天时数和地利数的定义计算可得;
(2)由s=100x+50+y,t=100y+50+x,根据s﹣t=693可得或,据此得出s的“厚积薄发数”为851或952,再分别求出这两个数的“人和数”,比较大小即可得.
【详解】
(1)168重新排列为168、186、618.
∵|1+8﹣2×6|=3、|1+6﹣2×8|=9、|8+6﹣2×1|=12,且3<9<12,∴168是168的天时数,F(168)=62﹣1×8=28;
618是168的地利数,G(618)=6×8﹣12=47.
(2)s=100x+50+y,t=100y+50+x.
∵s﹣t=99x﹣99y=693,∴99(x﹣y)=693,x﹣y=7,x=y+7,∴1≤x≤9,1≤y≤9,∴1≤y+7≤9,∴1≤y≤2,∴或,∴s的“厚积薄发数”为851或952,当s=851时,可以重新排列为158,185,518.
∵|1+8﹣2×5|=1,|1+5﹣2×8|=10,|5+8﹣2×1|=11,∴158为851的“天时数”,F(851)=52﹣1×8=17;
518为851的“地利数”G(851)=5×8﹣12=39;
则M(851)=;
当s=952时,可以重新排列为529、295、259.
∵|5+9﹣2×2|=10,|2+5﹣2×9|=11,|2+9﹣2×5|=1,∴259为952的“天时数”,F(952)=52﹣2×9=7;
295为952的“地利数”,G(952)=2×5﹣92=﹣71,则M(952)=﹣;
综上,知所有“厚积薄发数”中M(s)的最大值为.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,解题的突破点是学会应用枚举法求出满足条件的天时数、地利数及人和数.
知识点:因式分解
题型:解答题
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