已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为2,F1,F2为左、右焦点,P为双曲线上一点,且∠F1PF2=60°,S△P...
问题详情:
已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为2,F1,F2为左、右焦点,P为双曲线上一点,且∠F1PF2=60°,S△PF1F2=12 ,求双曲线的标准方程.
【回答】
解
如图所示,设双曲线方程为=1 (a>0,b>0).
∵e==2,∴c=2a.
由双曲线的定义,
得||PF1|-|PF2||=2a=c,
在△PF1F2中,由余弦定理,得:
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°
=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°),
即4c2=c2+|PF1||PF2|.①
又S△PF1F2=12,
∴|PF1||PF2|sin 60°=12,
即|PF1||PF2|=48.②
由①②,得c2=16,c=4,则a=2,b2=c2-a2=12,
∴所求的双曲线方程为=1.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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