设函数(为自然对数的底数),,.(1)若是的极值点,且直线分别与函数和的图象交于,求两点间的最短距离; ...
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设函数(为自然对数的底数),, .
(1)若是的极值点,且直线分别与函数和的图象交于,求两点间的最短距离;
(2)若时,函数的图象恒在的图象上方,求实数的取值范围.
【回答】
(1)1(2)
【解析】试题分析:
(1)结合题意可得|PQ|=et+sint−2t.令h(x)=ex+sinx−2x,结合函数的*质可得两点间的最短距离是1;
(2)构造函数,结合题意可得实数的取值范围是.
试题解析:
(1)因为F(x)=ex+sinx−ax,所以F′(x)=ex+cosx−a,
因为x=0是F(x)的极值点,所以F′(0)=1+1−a=0,a=2.
又当a=2时,若x<0,F′(x)=ex+cosx−a<1+1−2=0,
所以F′(x)在(0,+∞)上为增函数,所以F′(x)>F′(0)=1+1−2=0,所以x=0是F(x)的极小值点,
所以a=2符合题意,所以|PQ|=et+sint−2t.令h(x)=ex+sinx−2x,即h′(x)=ex+cosx−2,
因为h′′(x)=ex−sinx,当x>0时,ex>1,−1⩽sinx⩽1,
所以h′′(x)=ex−sinx>0,所以h′(x)=ex+cosx−2在(0,+∞)上递增,
所以h′(x)=ex+cosx−2>h′(0)=0,∴x∈[0,+∞)时,h(x)的最小值为h(0)=1,所以|PQ|min=1.
(2)令,
则,
,
因为当时恒成立,
所以函数在上单调递增,∴当时恒成立;
故函数在上单调递增,所以在时恒成立.
当时, , 在单调递增,即.
故时恒成立.
当时,因为在单调递增,所以总存在,使在区间上,导致在区间上单调递减,而,所以当时, ,这与对恒成立矛盾,所以不符合题意,故符合条件的的取值范围是.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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