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若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍,我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线,这个四边形叫做黄金四边形.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD=DC,对角线AC,BD都是黄金线,且AB<AC,CD<BD,求四边形ABCD各个内角的度数;
(2)如图2,点B是弧AC的中点,请在⊙O上找出所有的点D,使四边形ABCD的对角线AC是黄金线(要求:保留作图痕迹);
(3)在黄金四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠BAC=30°,求∠BAD的度数.
【回答】
【解答】解:(1)∵在四边形ABCD中,对角线AC是黄金线,
∴△ABC是等腰三角形,
∵AB<AC,
∴AB=BC或AC=BC,
①当AB=BC时,
∵AB=AD=DC,
∴AB=BC=AD=DC,
又∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
此种情况不符合黄金四边形定义,
②AC=BC,
同理,BD=BC,
∴AC=BD=BC,易*得△ABD≌△DAC,△CAB≌△BDC,
∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB,∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA,
且∠DCA<∠DCB,
∴∠DAC<∠CAB
又由黄金四边形定义知:∠CAB=2∠DAC,
设∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°,
则∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°,
∴∠DAB=∠ADC=3x°,
而四边形的内角和为360°,
∴∠DAB=∠ADC=108°,∠BCD=∠CBA=72°,
答:四边形ABCD各个内角的度数分别为108°,72°,108°,72°.
(2)由题意作图为:
(3)∵AB=BC,∠BAC=30°,
∴∠BCA=∠BAC=30°,∠ABC=120°,
ⅰ)当AC为黄金线时,
∴△ACD是等腰三角形,
∵AB=BC=CD,AC>BC,
∴AD=CD或AD=AC,
当AD=CD时,则AB=BC=CD=AD,
又∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,如图3,此种情况不符合黄金四边形定义,
∴AD≠CD,
当AD=AC时,由黄金四边形定义知,∠ACD=∠D=15°或60°,
此时∠BAD=180°(不合题意,舍去)或90°(不合题意,舍去);
ⅱ)当BD为黄金线时,
∴△ABD是等腰三角形,
∵AB=BC=CD,
∴∠CBD=∠CDB,
①当AB=AD时,△BCD≌△BAD,
此种情况不符合黄金四边形定义;
②当AB=BD时,AB=BD=BC=CD,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠CBD=60°,
∴∠A=30°或120°(不合题意,舍去),
∴∠ABC=180°(不合题意,舍去),
此种情况也不符合黄金四边形定义;
③当AD=BD时,设∠CBD=∠CDB=y°,则∠ABD=∠BAD=(2y)°或,
∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°,
当∠ABD=2y°时,y=40,
∴∠BAD=2y=80°;
当时,y=80,
∴;
综上所述:∠BAD的度数为40°,80°.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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