在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,且经过点A(0,)(1)若此抛物线经过点B(2...
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,且经过点A(0,)
(1)若此抛物线经过点B(2,﹣),且与x轴相交于点E,F.
①填空:b= (用含a的代数式表示);
②当EF2的值最小时,求抛物线的解析式;
(2)若a=,当0<x<1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时,求b的值.
【回答】
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)①由A点坐标可求得c,再把B点坐标代入可求得b与a的关系式,可求得*;②用a可表示出抛物线解析式,令y=0可得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系可用a表示出EF的值,再利用函数*质可求得其取得最小值时a的值,可求得抛物线解析式;
(2)可用b表示出抛物线解析式,可求得其对称轴为x=﹣b,由题意可得出当x=0、x=1或x=﹣b时,抛物线上的点可能离x轴最远,可分别求得其函数值,得到关于b的方程,可求得b的值.
【解答】解:
(1)①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,且经过点A(0,),
∴c=,
∵抛物线经过点B(2,﹣),
∴﹣=4a+2b+,
∴b=﹣2a﹣1,
故*为:﹣2a﹣1;
②由①可得抛物线解析式为y=ax2﹣(2a+1)x+,
令y=0可得ax2﹣(2a+1)x+=0,
∵△=(2a+1)2﹣4a×=4a2﹣2a+1=4(a﹣)2+>0,
∴方程有两个不相等的实数根,设为x1、x2,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴EF2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2==(﹣1)2+3,
∴当a=1时,EF2有最小值,即EF有最小值,
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+;
(2)当a=时,抛物线解析式为y=x2+bx+,
∴抛物线对称轴为x=﹣b,
∴只有当x=0、x=1或x=﹣b时,抛物线上的点才有可能离x轴最远,
当x=0时,y=,当x=1时,y=+b+=2+b,当x=﹣b时,y=(﹣b)2+b(﹣b)+=﹣b2+,
①当|2+b|=3时,b=1或b=﹣5,且顶点不在0<x<1范围内,满足条件;
②当|﹣b2+|=3时,b=±3,对称轴为直线x=±3,不在0<x<1范围内,故不符合题意,
综上可知b的值为1或﹣5.
知识点:各地中考
题型:综合题
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