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问题详情:
我们知道,经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,对于这样的抛物线:
(1)当抛物线经过点(-2,0)和(-1,3)时,求抛物线的表达式;
(2)当抛物线的顶点在直线y=-2x上时,求b的值;
(3)如图2-Y-9,现有一组这样的抛物线,它们的顶点A1,A2,…,An在直线y=-2x上,横坐标依次为-1,-2,-3,…,-n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn,如果这组抛物线中的某一条经过点Dn,求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长.
图2-Y-9
【回答】
.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点(-2,0)和(-1,3),
∴
∴抛物线的表达式为y=-3x2-6x.
(2)∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是
(-,-),
且该点在直线y=-2x上,
∴-=-2×(-).
∵a≠0,∴-b2=4b,
解得b1=-4,b2=0.
(3)这组抛物线的顶点A1,A2,…,An在直线y=-2x上,
由(2)可知,b=-4或b=0.
①当b=0时,抛物线的顶点在坐标原点,不合题意,舍去;
②当b=-4时,抛物线的表达式为y=ax2-4x.
由题意可知,第n条抛物线的顶点为An(-n,2n),则Dn(-3n,2n).
∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn,设第(n+k)(k为正整数)条抛物线经过点Dn,此时第(n+k)条抛物线的顶点坐标是An+k(-n-k,2n+2k),
∴-=-n-k,
∴第(n+k)条抛物线的表达式为y=-x2-4x.
∵Dn(-3n,2n)在第(n+k)条抛物线上,
∴2n=-×(-3n)2-4×(-3n),解得k=n.
∵n,k为正整数,且n≤12,
∴n1=5,n2=10.
当n=5时,k=4,n+k=9;
当n=10时,k=8,n+k=18>12(舍去),
∴D5(-15,10),
∴正方形的边长是10.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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