有人提出了一種不用火箭發*人造地球衛星的設想.其設想如下:沿地球的一條弦挖一通道,如圖乙所示.在通道的兩個出口...
問題詳情:
有人提出了一種不用火箭發*人造地球衛星的設想.其設想如下:沿地球的一條弦挖一通道,如圖乙所示.在通道的兩個出口處A和B,分別將質量為M的物體和質量為m的待發*衛星同時自由釋放,只要M比m足夠大,碰撞後,質量為m的物體,即待發*的衛星就會從通道口B衝出通道.(已知地球表面的重力加速度為g,地球半徑為R0)
(1)如圖*所示,一個質量為m的物體(可視為質點)在一個質量均勻分佈的大球(半徑為R,密度為ρ)的內部距球心r處,那麼m與大球之間的萬有引力就是F=,式中M′是以r為半徑的球體的質量.試根據所給條件求出物體m所受到的萬有引力多大?
(2)如圖乙所示,是在地球上距地心h處沿一條弦挖了一條光滑的通道AB,從A點處靜止釋放一個質量為m的物體,物體下落到通道中點O′處的速度多大?
(3)如果在A處釋放一個質量很大的物體M,在B處同時釋放一個質量遠小於M的物體,同時達到O′處發生**正碰(由於大物體質量很大,可以認為碰後速度不變),那麼小物體返回從B飛出,為使飛出的速度達到地球的第一宇宙速度,h應為多大?
【回答】
(1) F=πGmr (2) v= (3)
【解析】
(1)M′=πr3ρ,所以Fr=πρGmr
(2)設地球的密度為ρ0,距O′為x處時,到地心的距離為r=,所受地球的引力為F=πρ0Gmr,其沿AB的分力為f=Fsin θ,而sin θ=,所以f=πρ0Gmx,則f與到O′的距離x成正比,最大的fm=πρ0Gm
最小的fmin=0,所以關於f的功可以利用它的平均值進行計算.則f對物體做了正功,大小為:W=fm=πρ0Gm(R02-h2)
根據動能定理有:mv2=W
所以達O′處的速度為:
又mg=G,所以g=πGρ0R0
所以W=,v=
(3)由題知,碰後小物體的速度為v′=3v,根據動能定理有:-W=mv12-mv′2
v1==
所以
知識點:萬有引力定律
題型:解答題
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