某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與...

問題詳情：

某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．

(1)將一個星期的商品利潤表示成x的函式；

(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

【回答】

解：(1)設商品降價x元，則多賣出的商品數為kx2，若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則依題意，有

f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．

又由已知條件，24＝k·22，於是有k＝6，

所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．

(2)根據(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).

故x＝12時，f(x)達到極大值，因為f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定價為30－12＝18(元)時能使一個星期的商品銷售利潤最大．

知識點：導數及其應用

題型：解答題