經過用天文望遠鏡的長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式...

問題詳情：

經過用天文望遠鏡的長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分佈情況有了較深刻的認識。雙星系統由兩個星體構成，其中每個星體的線度都遠小於兩星體之間的距離。一般雙星系統距離其他星體很遠，可以當作孤立系統處理。

現根據對某一雙星系統的光度學測量確定，該雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動。

(1)試計算該雙星系統的運動週期。

(2)若實驗上觀測到的運動週期為T，且，為了解釋T與T。的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質。作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體連線為直徑的球體內均勻地分佈著這種暗物質，而不考慮其他暗物質的影響。試根據這一模型和上述觀測結果確定這種暗物質的密度。（不必考慮暗物質對星體運動的阻力）

【回答】

（1）（2）

【解析】

解析(1)雙星均繞它們的連線的中點做圓周運動，設運動速度為，向心加速度滿足方程

，

所以，，

則週期.

(2)根據觀測結果，星體的運動週期，這說明雙星系統中受到的向心力大於本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力。按題意，這一作用來源於均勻分佈的暗物質，均勻分佈在球體內的暗物質對雙星系統的作用相當於質量等於球內暗物質的總質量、位於中點處的質點相同，考慮暗物質作用後雙星的速度即為觀察到的速度，則有

，

所以.

因為在軌道一定時，週期和速度成反比，由此可得，

進而有.

設所求暗物質的密度為，則有

，

故.

點睛當暗物質以某一點為中心均勻分佈時，那麼它對周圍星體的作用力也是以該點為中心的。在本題的雙星系統中，正是這種作用使得我們觀測到的雙星運動的週期與通過計算得到的週期之間存在著一定的差別。如果考慮到這種差別是暗物質引起的，即考慮分佈在以某一星球為中心，以雙星間的距離為半徑的球體內的暗物質對另一星球的吸引，進而會影響到雙星轉動的週期，那麼，依據與之間的關係，便能確定暗物質的密度。