某製造商製造並出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的製造成本是0.8πr2分,其中r(單位:cm)是瓶子的半徑.已知每...
問題詳情:
某製造商製造並出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的製造成本是0.8πr2分,其中r(單位:cm)是瓶子的半徑.已知每出售1 mL的飲料,製造商可獲利0.2分,且製造商能製作的瓶子的最大半徑為6 cm.則瓶子半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?瓶子半徑多大時,每瓶飲料的利潤最小?
【回答】
解 由於瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤是
y=f(r)=0.2×πr3-0.8πr2
=0.8π,0<r≤6.
令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0.
當r=2時,f′(r)=0.
當r∈(0,2)時,f′(r)<0;
當r∈(2,6)時,f′(r)>0.
因此,當半徑r>2時,f′(r)>0,它表示f(r)單調遞增,即半徑越大,利潤越高;半徑r<2時,f′(r)<0,它表示f(r)單調遞減,即半徑越大,利潤越低.
∴半徑為2 cm時,利潤最小,這時f(2)<0,表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本,此時利潤是負值.
半徑為6 cm時,利潤最大.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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