如圖，點O線上段AB上，（不與端點A、B重合），以點O為圓心，OA的長為半徑畫弧，線段BP與這條弧相切與點P，...

問題詳情：

如圖，點O線上段AB上，（不與端點A、B重合），以點O為圓心，OA的長為半徑畫弧，線段BP與這條弧相切與點P，直線CD垂直平分PB，交PB於點C，交AB於點D，在*線DC上擷取DE，使DE=DB．已知AB=6，設OA=r．

（1）求*：OP∥ED；

（2）當∠ABP=30°時，求扇形AOP的面積，並*四邊形PDBE是菱形；

（3）過點O作OF⊥DE於點F，如圖所示，線段EF的長度是否隨r的變化而變化？若不變，直接寫出EF的值；若變化，直接寫出EF與r的關係．

【回答】

解：（1）∵BP為⊙O的切線，

∴OP⊥BP，

∵CD⊥BP，

∴∠OPB=∠DCB=90°，

∴OP∥ED；

（2）在Rt△OBP中，∠OPB=90°，∠ABP=30°，

∴∠POB=60°，

∴∠AOP=120°．

在Rt△OBP中，OP=OB，

即r=（6﹣r），

解得：r=2，

S扇形AOP=．

∵CD⊥PB，∠ABP=30°，

∴∠EDB=60°，

∵DE=BD，

∴△EDB是等邊三角形，

∴BD=BE．

又∵CD⊥PB，

∴CD=CE．

∴DE與PB互相垂直平分，

∴四邊形PDBE是菱形．

（3）EF的長度不隨r的變化而變化，且EF=3，

∵AO=r、AB=6，

∴BO=AB﹣AO=6﹣r，

∵BP為⊙O的切線，

∴∠BPO=90°，

∵直線CD垂直平分PB，

∴∠DCB=∠OPB=90°，且BC=PC，

∵∠DBC=∠OBP，

∴△DBC∽△OBP，

∴=，

則CD=OP=r、BD=OB=（6﹣r）=3﹣，

∵DB=DE=3﹣，

∴CE=DE﹣CD=3﹣r，

∵OF⊥EF，

∴∠OFC=∠FCP=∠CPO=90°，

∴四邊形OFCP為矩形，

∴CF=OP=r，

則EF=CF+CE=r+3﹣r=3，

即EF的長度為定值，EF=3．

知識點：相似三角形

題型：綜合題