設m，n為非零向量，則“存在負數λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)A．充分而不必要條件    ...

問題詳情：

設m，n為非零向量，則“存在負數λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的 (　　)

A．充分而不必要條件                  B．必要而不充分條件

C．充分必要條件                      D．既不充分也不必要條件

【回答】

A [解析]　方法1：由題意知|m|≠0，|n|≠0.

設m與n的夾角為θ.

若存在負數λ，使得m＝λn，

則m與n反向共線，θ＝180°，

∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.

當90°<θ<180°時，m·n<0，此時不存在負數λ，使得m＝λn.

故“存在負數λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件．

故選A．

方法2：∵m＝λn，

∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.

∴當λ<0，n≠0時，m·n<0.

反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈(，π]，

當〈m，n〉∈(，π)時，m，n不共線．

故“存在負數λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件．

知識點：常用邏輯用語

題型：選擇題