【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補...

問題詳情：

【閱讀理解】

截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．

（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關係．

解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據∠BAC+∠BDC＝180°，可*∠ABD＝∠ACE易*得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數量關係．

根據上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數量關係是　   　；

【拓展延伸】

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關係，並說明理由；

【知識應用】

（3）如圖3，兩塊斜邊長都爲14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的長分別爲　   　cm．

【回答】

解：（1）如圖1，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵∠BDC＝120°，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

又∵∠ACE+∠ACD＝180°，

∴∠ABD＝∠ACE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，

∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，

故*爲：DA＝DC+DB；

（2）DA＝DB+DC，

如圖2，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，

∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

∵∠ACE+∠ACD＝180°，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵AB＝AC，CE＝BD，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴∠DAE＝∠BAC＝90°，

∴DA2+AE2＝DE2，

∴2DA2＝（DB+DC）2，

∴DA＝DB+DC；

（3）如圖3，連接PQ，

∵MN＝14，∠QMN＝30°，

∴QN＝MN＝7，

∴MQ＝＝＝7，

由（2）知PQ＝QN+QM＝7+7，

∴PQ＝＝，

故*爲：．

【點評】此題是三角形的綜合題，主要考查了考查的是全等三角形的判定和*質、直角三角形的*質、等邊三角形的*質，掌握全等三角形的判定定理和*質定理是解題的關鍵．

知識點：勾股定理

題型：綜合題