如圖,給出定點A(a,0)(a>0,a≠1)和直線l:x=-LB是直線l上的動點,∠BOA的角平分線交AB於點...
問題詳情:
如圖,給出定點A(a,0)(a>0,a≠1)和直線l:x=-LB是直線l上的動點,∠BOA的角平分線交AB於點C,求點C的軌跡方程,並討論方程表示的曲線類型與a值的關係。
【回答】
解法一:依題意,記B(-1,b) (b∈R),則直線OA和OB的方程分別y=0和y=-bx.設點C(x,y),則有
0≤x<a,由OC平分∠AOB,知點C到OA、OB距離相等根據點到直線的距離公式得|y|= ①
依題設,點C在直線AB上,故有:y=
由x-a≠0,得b= ②
將②式代入①式得:
y2[1+]=[y- ]2
整理得:y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0
若y≠0,則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a);
若y=0,則b=0,∠AOB=π,點C的座標爲(0,0)滿足上式
綜上得點C的軌跡方程爲:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)
∵ a≠1,
∴ ③
由此知,當0<a<1時,方程③表示橢圓弧段;當a>1時,方程③表示雙曲線一支的弧段
解法二:如圖,設D是l與x軸的交點,過點C作CE⊥x軸,E是垂足
(Ⅰ)當|BD|≠0時,設點C(x,y),則0<x<a,y≠0
由CE∥BD,得
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD
∴2∠COA=π-∠BOD
∵tg(2∠COA)=,
tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,
∴
整理得:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)
(Ⅱ)當|BD|=0時,∠BOA=π,則點C的座標爲(0,0),滿足上式
綜合(Ⅰ)(Ⅱ),得點C的軌跡方程爲(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)
以下同解法一.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:計算題
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