在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交於點O，設銳角∠AOB＝α，將△DOC按逆時針方向旋轉得到△D′OC′...

問題詳情：

在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交於點O，設銳角∠AOB＝α，將△DOC

按逆時針方向旋轉得到△D′OC′（0°＜旋轉角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交於點M．

（1）當四邊形ABCD爲矩形時，如圖1．求*：△AOC′≌△BOD′．

（2）當四邊形ABCD爲平行四邊形時，設AC＝kBD，如圖2．

①猜想此時△AOC′與△BOD′有何關係，*你的猜想；

②探究AC′與BD′的數量關係以及∠AMB與α的大小關係，並給予*．

【回答】

（1）*：在矩形ABCD中，

∵AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∵△D′OC′由△DOC旋轉得到，

∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，

∴OB＝OD′＝OA＝OC′，

∴180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，

即∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′≌△AOC′

（2）①猜想：△BOD′∽△AOC′．

*：在平行四邊形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，

∵△D′OC′由△DOC旋轉得到，

∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，

∴OB：OA＝OD′：OC′，180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，

∴∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′

②結論：AC′＝kBD′，∠AMB＝α

*：∵△BOD′∽△AOC′，∴，即AC′＝kBD′      

設BD′與AC相交於點N，∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBM＝∠OAM，

在△ANM與△BNO中，又∵∠ANM＝∠BNO，

∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO，

即∠AMB＝∠AOB＝α．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題