如圖(十七)所示,將二次函數y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折,然後向右平移1個單位,再向上平移4個單位,得到...
問題詳情:
如圖(十七)所示,將二次函數y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折,然後向右平移1個單位,再向上平移4個單位,得到二次函數y=ax2+bx+c的圖象.函數y=x2+2x+1的圖象的頂點爲點A.函數y=ax2+bx+c的圖象的頂點爲點B,和x軸的交點爲點C,D(點D位於點C的左側).
(1)求函數y=ax2+bx+c的解析式;
(2)從點A,C,D三個點中任取兩個點和點B構造三角形,求構造的三角形是等腰三角形的概率;
(3)若點M是線段BC上的動點,點N是△ABC三邊上的動點,是否存在以AM爲斜邊的Rt△AMN,使△AMN的面積爲△ABC面積的,若存在,求tan∠MAN的值;若不存在,請說明理由.
【回答】
解:(1)將拋物線y=x2+2x+1沿x軸翻折得到:y=-x2-2x-1,
將拋物線y=-x2-2x-1,向右平移1個單位得到:y=-x2,
將拋物線y=-x2向上平移4個單位得到:y=-x2+4.
所求函數y=ax2+bx+c的解析式爲y=-x2+4.………………………………2分
(2)從A,C,D三個點中任選兩個點和點B構造的三角形有:△BAC,△BAD,△BCD.
A,B,C,D的座標分別爲(-1,0),(0,4),(2,0),(-2,0),
可求得AB=,AC=3,BC=2,AD=1,BD=2,CD=4,
只有△BCD爲等腰三角形,所以構造的三角形是等腰三角形的概率P=.…4分
(3)S△ABC=AC·BO=×3×4=6.
①當點N在邊AC上時,點M在邊BC上,在Rt△AMN中,MN⊥AC.
設點N的座標爲(m,0),則AN=m+1,點M的橫座標爲m.
由B(0,4),C(2,0)易得線段BC的解析式爲y=-2x+4,其中0≤x≤2,
所以點M的縱座標爲-2m+4,則MN=-2m+4.
S△AMN =AN·MN=(m+1)(-2m+4)
=S△ABC=2.
解得m1=1,m2=0.
當m=1時,N點的座標爲(1,0),M點的座標爲(1,2),AN=2,MN=2.
tan∠MAN===1.……………5分
當m=0時,N點的座標爲(0,0),M點與點B重合,座標爲(0,4),AN=1,MN=4.
tan∠MAN===4.………………………………………………………6分
②當點N在BC上時,點M在BC上,Rt△AMN中,MN⊥AN,
因爲S△AMN=S△ABC,所以AN·MN=×BC·AN,
所以MN=BC=.
因爲S△ABC=BC·AN=×2·AN=6,
所以AN=.
所以tan∠MAN===.…………8分
③當點N在AB上時,點M在BC上,Rt△AMN中,MN⊥AN.
設AN=t,則BN=–t,
過點A作AG⊥BC於點G,由②得AG=.
在Rt△ABG中,BG==.
易*△BNM∽△BGA,
所以=,即=,
求得MN=,
所以S△AMN=AN·MN=t·=2,
化簡得3t2-3t+14=0,△=(3)2-4×3×14=-15<0,此方程無解,
所以此情況不存在.
綜上所述,當點N在AC上,點M與點B重合時,tan∠MAN=4;
當點N在AC上,點M不與點B重合時,tan∠MAN=1;
當點N在BC上時,tan∠MAN=.…………………………10分
注:解答題用其它方法解答參照給分.
知識點:各地中考
題型:綜合題
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