設函數,已知曲線在點處的切線與直線平行(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)是否存在自然數,使得方程在內存在唯一的根?如果存在,...
問題詳情:
設函數,
已知曲線在點處的切線與直線平行
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在自然數,使得方程在內存在唯一的根?
如果存在,求出;如果不存在,請說明理由。
(Ⅲ)設函數(表示中的較小者),
求的最大值。
【回答】
解:(Ⅰ)由題意知,曲線在點處的切線斜率爲2,所以,又,所以 ------2分
(Ⅱ)時,方程在內存在唯一的根,
設
當時,,又,所以存在,
使,因爲,所以當時,,當,,所以當時,單調遞增,
所以時,方程在內存在唯一的根. ------7分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,方程在內存在唯一的根,且時,,時,,所以
當時,若,若,由,
可知,故
當時,由當,可得時,,單調遞增;時,,單調遞減;可知,
且,綜上可得:函數的最大值爲.------12分
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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