我國著名數學家華羅庚曾說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,隔離分家萬事休”.數學中,數和形...
問題詳情:
我國著名數學家華羅庚曾說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,隔離分家萬事休”.數學中,數和形是兩個最主要的研究對象,它們之間有着十分密切的聯繫,在一定條件下,數和形之間可以相互轉化,相互滲透.
數形結合的基本思想,就是在研究問題的過程中,注意把數和形結合起來考察,斟酌問題的具體情形,把圖形*質的問題轉化爲數量關係的問題,或者把數量關係的問題轉化爲圖形*質的問題,使複雜問題簡單化,抽象問題具體化,化難爲易,獲得簡便易行的成功方案.
例如,求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整數.
對於這個求和問題,如果採用純代數的方法(首尾兩頭加),問題雖然可以解決,但在求和過程中,需對n的奇偶*進行討論.
如果採用數形結合的方法,即用圖形的*質來說明數量關係的事實,那就非常的直觀.現利用圖形的*質來求1+2+3+4+…+n 的值,方案如下:如圖,斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別爲1,2,3,…,n個小圓圈排列組成的.而組成整個三角形小圓圈的個數恰爲所求式子1+2+3+4+…+n的值.爲求式子的值,現把左邊三角形倒放於斜線右邊,與原三角形組成一個平行四邊形.此時,組成平行四邊形的小圓圈共有n行,每行有(n+1)個小圓圈,所以組成平行四邊形小圓圈的總個數爲n(n+1)個,因此,組成一個三角形小圓圈的個數爲,即1+2+3+4+…+n=.
(1)仿照上述數形結合的思想方法,設計相關圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中 n 是正整數.(要求:畫出圖形,並利用圖形做必要的推理說明)
(2)試設計另外一種圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整數.(要求:畫出圖形,並利用圖形做必要的推理說明)
【回答】
解:(1)
因爲組成此平行四邊形的小圓圈共有n 行,每行有[(2n -1)+1]個,即2n 個,
所以組成此平行四邊形的小圓圈共有(n×2n)個,即2n2個.
∴1+3+5+7+…+(2n-1)==n2
(2)因爲組成此正方形的小圓圈共有n 行,每行有n個,所以共有(n×n)個, 即n2 個.
∴1+3+5+7+…+(2n-1)=n×n=n2 .
知識點:整式的加減
題型:實驗,探究題
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