平面直角座標系xOy中，橫座標爲a的點A在反比例函數y1═（x＞0）的圖象上，點A′與點A關於點O對稱，一次函...

問題詳情：

平面直角座標系xOy中，橫座標爲a的點A在反比例函數y1═（x＞0）的圖象上，點A′與點A關於點O對稱，一次函數y2=mx+n的圖象經過點A′．

（1）設a=2，點B（4，2）在函數y1、y2的圖象上．

①分別求函數y1、y2的表達式；

②直接寫出使y1＞y2＞0成立的x的範圍；

（2）如圖①，設函數y1、y2的圖象相交於點B，點B的橫座標爲3a，△AA'B的面積爲16，求k的值；

（3）設m=，如圖②，過點A作AD⊥x軸，與函數y2的圖象相交於點D，以AD爲一邊向右側作正方形ADEF，試說明函數y2的圖象與線段EF的交點P一定在函數y1的圖象上．

【回答】

【分析】（1）由已知代入點座標即可；

（2）面積問題可以轉化爲△AOB面積，用a、k表示面積問題可解；

（3）設出點A、A′座標，依次表示AD、AF及點P座標．

【解答】解：（1）①由已知，點B（4，2）在y1═（x＞0）的圖象上

∴k=8

∴y1=

∵a=2

∴點A座標爲（2，4），A′座標爲（﹣2，﹣4）

把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n

解得

∴y2=x﹣2

②當y1＞y2＞0時，y1=圖象在y2=x﹣2圖象上方，且兩函數圖象在x軸上方

∴由圖象得：2＜x＜4

（2）分別過點A、B作AC⊥x軸於點C，BD⊥x軸於點D，連BO

∵O爲AA′中點

S△AOB=S△AOA′=8

∵點A、B在雙曲線上

∴S△AOC=S△BOD

∴S△AOB=S四邊形ACDB=8

由已知點A、B座標都表示爲（a，）（3a，）

∴

解得k=6

（3）由已知A（a，），則A′爲（﹣a，﹣）

把A′代入到y=

﹣

∴n=

∴A′B解析式爲y=﹣

當x=a時，點D縱座標爲

∴AD=

∵AD=AF，

∴點F和點P橫座標爲

∴點P縱座標爲

∴點P在y1═（x＞0）的圖象上

【點評】本題綜合考查反比例函數、一次函數圖象及其*質，解答過程中，涉及到了面積轉化方法、待定係數法和數形結合思想．

知識點：各地中考

題型：解答題