如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AE⊥BD,垂足爲E,ED=3BE,點P、Q分別在BD、AD上,則AP+PQ...
問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AE⊥BD,垂足爲E,ED=3BE,點P、Q分別在BD、AD上,則AP+PQ最小值爲________.
【回答】
【考點】勾股定理,矩形的*質,軸對稱-最短路線問題,相似三角形的判定與*質 【解析】【解答】解:設BE=x,則DE=3x, ∵四邊形ABCD爲矩形,且AE⊥BD, ∴△ABE∽△DAE, ∴AE2=BE•DE,即AE2=3x2 , ∴AE= x, 在Rt△ABE中,由勾股定理可得AB2=AE2+BE2 , 即32=( x)2+x2 , 解得x= , ∴AE= ,DE= ,BE= , ∴AD=3 , 如圖,設A點關於BD的對稱點爲A′,連接A′D,PA′, 則A′A=2AE=3 =AD=A′D ∴△AA′D是等邊三角形, ∵PA=PA′, ∴當A′、P、Q三點在一條線上時,A′P+PQ最小, 又垂線段最短可知當PQ⊥AD時,A′P+PQ最小, ∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE= , 故*是: . 【分析】(1)已知AE⊥BD,ED=3BE,因此*△ABE∽△DAE,表示出AE的長,在Rt△ABE中,運用勾股定理求出AE,DE,BE的長,再運用勾股定理或求三角形的面積法求出AD的長。根據兩點之間線段最短,添加輔助線將AP和PQ轉化到同一條線段上,因此作A點關於BD的對稱點爲A′,連接A′D,PA′,可*得△AA′D是等邊三角形,由垂線段最短可知當PQ⊥AD時,A′P+PQ最小,即可求出結果。
三.<b >解答題</b>
知識點:特殊的平行四邊形
題型:填空題
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