在平面直角座標系XOY中，拋物線y=ax2+bx+4經過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交於點C，點...

問題詳情：

在平面直角座標系XOY中，拋物線y=ax2+bx+4經過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交於點C，點D在x軸的負半軸上，且BD=BC，有一動點P從點A出發，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發，沿線段CA以某一速度向點A移動．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；

（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出點M的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+4經過A（﹣3，0），B（4，0）兩點，

∴，解得，

∴所求拋物線的解析式爲：y=﹣x2+x+4；

（2）如圖1，依題意知AP=t，連接DQ，

∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），

∴AC=5，BC=4，AB=7．

∵BD=BC，

∴AD=AB﹣BD=7﹣4，

∵CD垂直平分PQ，

∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．

∵BD=BC，

∴∠DCB=∠CDB．

∴∠CDQ=∠DCB．

∴DQ∥BC．

∴△ADQ∽△ABC．

∴=，

∴=，

∴=，

解得DP=4﹣，

∴AP=AD+DP=．

∴線段PQ被CD垂直平分時，t的值爲；

（3）如圖2，設拋物線y=﹣x2+x+4的對稱軸x=與x軸交於點E．點A、B關於對稱軸x=對稱，連接BQ交該對稱軸於點M．

則MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，

∵當BQ⊥AC時，BQ最小，此時，∠EBM=∠ACO，

∴tan∠EBM=tan∠ACO=，∴=，∴=，解ME=．

∴M（，），即在拋物線y=﹣x2+x+4的對稱軸上存在一點M（，），使得MQ+MA的值最小．

知識點：函數的應用

題型：解答題