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*传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、*美.给出定义:能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题:
①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个;
②函数f(x)=ln(x+)可以是某个圆的“优美函数”;
③余弦函数y=f(x)可以同时是无数个圆的“优美函数”;
④函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.
其中正确的命题是 (写出所有正确命题的序号)
【回答】
①②④
【考点】2K:命题的真假判断与应用;3O:函数的图象.
【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可.
【解答】解:①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个,注意函数是奇函数,即可得到结果.①是“优美函数”.
②函数f(x)=ln(x+)可以是某个圆的“优美函数”;
因为函数f(x)=ln(x+)是奇函数,满足优美函数的定义,所以②满足题意;
③余弦函数y=f(x)=cosx是偶函数,不可以同时是无数个圆的“优美函数”;所以③不正确.
④函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)是奇函数,它的图象是中心对称图形.所以④满足题意.
故*为:①②④.
知识点:圆与方程
题型:填空题
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