如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.(1)...
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如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.
(1)求*:AE=EF;
(2)如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,(1)中的结论是否仍然成立? ;(填“成立”或“不成立”);
(3)如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”,其余条件仍不变,那么结论AE=EF是否成立呢?若成立请*,若不成立说明理由.
【回答】
(1)*见解析;(2)成立;(3)成立,*见解析.
【解析】
试题分析:(1)取AB中点M,连接EM,求出BM=BE,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根据ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(2)截取BE=BM,连接EM,求出AM=EC,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根据ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(3)在BA的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE,根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF,因为全等三角形的对应边相等,所以AE=EF.
试题解析:(1)*:取AB中点M,连接EM,
∵AB=BC,E为BC中点,M为AB中点,
∴AM=CE=BE,
∴∠BME=∠BME=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在△AME和△ECF中,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(2)成立,
理由是:如图,在AB上截取BM=BE,连接ME,
∵∠B=90°,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
∵AB=BC,BM=BE,
∴AM=EC,
在△AME和△ECF中,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(3)成立.
*:如图,在BA的延长线上取一点N.使AN=CE,连接NE,
∴BN=BE,
∴∠N=∠NEC=45°,
∵CF平分∠DCG,
∴∠FCE=45°,
∴∠N=∠ECF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA,即∠DAE+90°=∠BEA+90°,
∴∠NAE=∠CEF,
∴△ANE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
点睛:本题考查了正方形的*质、全等三角形的判定与*质,阅读材料,理清解题的关键是去AM=EC,然后构造出△AME和△ECF全等是解题的关键.
知识点:全等三角形
题型:解答题
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