已知函数f(x)=﹣2sin2x+2sinxcosx+1(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及对称中心(Ⅱ)若x∈[﹣...
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已知函数f(x)=﹣2sin2x+2sinxcosx+1
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及对称中心
(Ⅱ)若x∈[﹣,],求f(x)的最大值和最小值.
【回答】
【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象.
【分析】(1)利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,即可求周期和对称中心.
(2)x∈[﹣,]时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和*质,求出f(x)的取值最大和最小值.
【解答】解:(1)函数f(x)=﹣2sin2x+2sinxcosx+1,
化简可得:f(x)=cos2x﹣1+sin2x+1
=sin2x+cos2x=2sin(2x+).
∴f(x)的最小正周期T=,
由2x+=kπ(k∈Z)可得对称中心的横坐标为x=kπ
∴对称中心(kπ,0),(k∈Z).
(2)当x∈[﹣,]时,2x+∈[,]
当2x+=时,函数f(x)取得最小值为.
当2x+=时,函数f(x)取得最大值为2×1=2.
知识点:三角恒等变换
题型:解答题
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