已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;(3)令,是否存在实数...
问题详情:
已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在 上是减函数,求实数的取值范围;
(3)令,是否存在实数,当(是自然对数的底数)时,函数的最小值是?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【回答】
1);(2);(3).
【解析】试题分析:(1)欲求在点处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. (2)先对函数进行求导,根据函数在[1,2]上是减函数可得到其导函数在[1,2]上小于等于0应该恒成立,再结合二次函数的*质可求得的范围. (3)先假设存在,然后对函数进行求导,再对的值分情况讨论函数在(0,e]上的单调*和最小值取得,可知当=e2能够保*当时有最小值3.
试题解析:
(1)当时,
所以,
所以曲线在点处的切线方程为.
(2)因为函数在上是减函数,
所以在[1,3]上恒成立.
令,有,得
故.
(3)假设存在实数a,使有最小值3,
①时,,所以在上单调递减,
, (舍去)
②当时,在上恒成立, 所以在上单调递减,(舍去)
③当时,令,得,
所以在上单调递减,在上单调递增
所以,,满足条件
综上,存在实数,使得时,有最小值3.
点睛:导数是研究函数的单调*、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出.导数专题在高考中的命题方向及命题角度:从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调*;已知单调*求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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