在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、连结OB,点D为OB的中点,点E是线段A...
问题详情:
在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.
(1)如图1,当t=3时,求DF的长.
(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值.
(3)连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.
【回答】
(1)3;(2)∠DEF的大小不变,tan∠DEF=;(3)或.
【解析】
(1)当t=3时,点E为AB的中点,
∵A(8,0),C(0,6),
∴OA=8,OC=6,
∵点D为OB的中点,
∴DE∥OA,DE=OA=4,
∵四边形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴DE⊥AB,
∴∠OAB=∠DEA=90°,
又∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°,
∴四边形DFAE是矩形,
∴DF=AE=3;
(2)∠DEF的大小不变;理由如下:
作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,如图2所示:
∵四边形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴四边形DMAN是矩形,
∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,
∴, ,
∵点D为OB的中点,
∴M、N分别是OA、AB的中点,
∴DM=AB=3,DN=OA=4,
∵∠EDF=90°,
∴∠FDM=∠EDN,
又∵∠DMF=∠DNE=90°,
∴△DMF∽△DNE,
∴,
∵∠EDF=90°,
∴tan∠DEF=;
(3)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,
若AD将△DEF的面积分成1:2的两部分,
设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点;
①当点E到达中点之前时,如图3所示,NE=3﹣t,
由△DMF∽△DNE得:MF=(3﹣t),
∴AF=4+MF=﹣t+,
∵点G为EF的三等分点,
∴G(,),
设直线AD的解析式为y=kx+b,
把A(8,0),D(4,3)代入得: ,
解得: ,
∴直线AD的解析式为y=﹣x+6,
把G(,)代入得:t=;
②当点E越过中点之后,如图4所示,NE=t﹣3,
由△DMF∽△DNE得:MF=(t﹣3),
∴AF=4﹣MF=﹣t+,
∵点G为EF的三等分点,
∴G(,),
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得:t=;
综上所述,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,t的值为或.
考点:四边形综合题.
知识点:一次函数
题型:解答题
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