已知二次函数:y=ax2+(2a+1)x+2(a<0).(1)求*:二次函数的图象与x轴有两个交点;(2)当二...
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已知二次函数:y=ax2+(2a+1)x+2(a<0).
(1)求*:二次函数的图象与x轴有两个交点;
(2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数时,求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象(不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A,B(A在B的左侧),与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象,同时标出A,B,C,D的位置);
(3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA=75°?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵y=ax2+(2a+1)x+2=(x+2)(ax+1),且a<0,
∴抛物线与x轴的交点为(﹣2,0)、(﹣,0),
则二次函数的图象与x轴有两个交点;
(2)∵两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数,
∴a=﹣1,
则抛物线与x轴的交点A的坐标为(﹣2,0)、B的坐标为(1,0),
∴抛物线解析式为y=(x+2)(﹣x+1)
=﹣x2﹣x+2
=﹣(x+)2+,
当x=0时,y=2,即C(0,2),
函数图象如图1所示:
(3)存在这样的点P,
∵OA=OC=2,
∴∠ACO=45°,
如图2,当点P在直线AC上方时,记直线PC与x轴的交点为E,
∵∠PCA=75°,
∴∠PCO=120°,∠OCB=60°,
则∠OEC=30°,
∴OE===2,
则E(2,0),
求得直线CE解析式为y=﹣x+2,
联立,
解得或,
∴P(,);
如图3,当点P在直线AC下方时,记直线PC与x轴的交点为F,
∵∠ACP=75°,∠ACO=45°,
∴∠OCF=30°,
则OF=OCtan∠OCF=2×=,
∴F(,0),
求得直线PC解析式为y=﹣x+2,
联立,
解得:或,
∴P(﹣1,﹣1),
综上,点P的坐标为(,)或(﹣1,﹣1).
知识点:各地中考
题型:综合题
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