在平面直角座標系中,拋物線y=x2－2x＋c(c為常數)的對稱軸為x=1.(Ⅰ)當c=－3時,點(x1,y1)...

問題詳情：

在平面直角座標系中,拋物線y=x2－2x＋c(c為常數)的對稱軸為x=1. (Ⅰ)當c=－3時,點(x1,y1)在拋物線y=x2－2x＋c上,求y1的最小值; (Ⅱ)若拋物線與x軸有兩個交點,點A在點B左側,且OA=OB,求拋物線的解析式; (Ⅲ)當－1＜x＜0時,拋物線與x軸有且只有一個公共點,求c的取值範圍.

【回答】

解:(Ⅰ)當c=－3時,拋物線為y=x2－2x－3, ∴拋物線開口向上,有最小值, ∴y最小值===－4, ∴y1的最小值為－4; (Ⅱ)拋物線與x軸有兩個交點, ①當點A、B都在原點的右側時,如解圖①, 設A(m,0),∵OA=OB, ∴B(2m,0), ∵二次函數y=x2－2x＋c的對稱軸為x=1, 由拋物線的對稱*得1－m=2m－1,解得m=, ∴A(,0), ∵點A在拋物線y=x2－2x＋c上, ∴0=－＋c,解得c=, 此時拋物線的解析式為y=x2－2x＋; ②當點A在原點的左側,點B在原點的右側時,如解圖②, 設A(－n,0),∵OA=OB,且點A、B在原點的兩側, ∴B(2n,0), 由拋物線的對稱*得n＋1=2n－1, 解得n=2,∴A(－2,0), ∵點A在拋物線y=x2－2x＋c上, ∴0=4＋4＋c,解得c=－8, 此時拋物線的解析式為y=x2－2x－8, 綜上,拋物線的解析式為y=x2－2x＋或y=x2－2x－8; (Ⅲ)∵拋物線y=x2－2x＋c與x軸有公共點, ∴對於方程x2－2x＋c=0,判別式b2－4ac=4－4c≥0, ∴c≤1. 當x=－1時,y=3＋c;當x=0時,y=c, ∵拋物線的對稱軸為x=1,且當－1＜x＜0時,拋物線與x軸有且只有一個公共點, ∴3＋c＞0且c＜0,解得－3＜c＜0, 綜上,當－1＜x＜0時,拋物線與x軸有且只有一個公共點時,c的取值範圍為－3＜c＜0.